お考えの通りであり、店側の対応がおかしいといえます。そもそも原本を求める理由は、「コピーだと改ざんされたものである可能性が否定できないため」ということに過ぎません。ですが書面の真偽は、いざとなれば作成元に電話するなりして裏を取ることができるのですからコピーでも同じことです。解約に関する手続き等は法令でも定めがないため、しばしばこうした不条理な運用が見受けられます。

店の責任者に掛け合っても埒が開かない場合は、本社に問い合わせるか、最悪消費者庁や国民消費生活センターに苦情を申し立てても良いでしょう。今時はツイッターなどSNSで拡散した方が効果的かもしれません。勿論うそを書くことは厳禁ですが。

このようにサービスを提供する側が硬直的な運用をするのは困ったものです。こういった小さなトラブルこそ、むしろ弁護士が機動的に動き是正していくことが本来は望ましいのですが…